( 问答题 ) 要用铁板做一个体积为的有盖长方体水箱, 问当长,宽,高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省

可用拉格朗日乘数法。

设长为x米,宽为y米，高为z米，则用料

f(x,y,z)=2(xy+yz+xz)

限制条件为

g(x,y,z)=xyz-2=0

令F(x,y,z)=2(xy+yz+xz)+λ(xyz-2)

则

Fx'=2(y+z)+λyz=0

Fy'=2(x+z)+λxz=0

Fz'=2(x+y)+λxy=0

xyz=2

=>x=y=z=2^(1/3)

解得唯一驻点(2^(1/3),2^(1/3),2^(1/3))

故用料最少在长宽高均为2^(1/3)米时取得：

f(min)=6*2^(2/3)=9.52 平方米。

扩展资料：

条件极值问题也可以化为无条件极值求解，但有些条件关系比较复杂，代换和运算很繁，而相对来说“拉格朗日乘数法”不需代换，运算简单一点，这就是优势。

条件φ(x,y,z)一定是个等式，不妨设为φ(x,y,z)=m。

则再建一个函数g(x,y,z)=φ(x,y,z)-m。

g(x,y,z)=0以g(x,y,z)代替φ(x,y,z)。

在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为 V的长方体形开口水箱，确定长、宽和高，使水箱的表面积最小.。设水箱的长、宽、高分别为 x,y,z， 则水箱容积V=xyz。

焊制水箱用去的钢板面积为 S=2xz+2yz+xy。

这实际上是求函数 S 在 V 限制下的最小值问题。

这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题，其一般形式是在条件限制下，求函数F的极值。

参考资料来源：百度百科-水箱

参考资料来源：百度百科-拉格朗日乘数法

设长为x 宽为y 所以体积V＝xy(a-x-y)=axy-(x^2)y-x(y^2) 令?V/?x=ay-2xy-y^2＝0 ?V/?y=ax-2xy-x^2=0 联立两个等式即(a-x-y)(x-y)=0 因为a>x+y 所以x=y=a/3 所以 当长宽高都为a/3是 取得体积最大