62问答网 > 已知函数f（x）=e x （sinx-cosx），x∈（0，2013π），则函数f（x）的极大值之和为（　　） A．

已知函数f（x）=e x （sinx-cosx），x∈（0，2013π），则函数f（x）的极大值之和为（　　） A．

2025-06-29 04:29:35

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回答1：

∵函数f（x）=e^x （sinx-cosx），
∴f′（x）=（e^x ）′（sinx-cosx）+e^x （sinx-cosx）′=2e^x sinx，
∵x∈（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）时，f′（x）＞0，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）（k∈Z）时，f′（x）＜0，
∴x∈（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）时f（x）递增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）（k∈Z）时f（x）递减，
∴当x=2kπ+π（k∈Z）时，f（x）取极大值，
其极大值为f（2kπ+π）=e^2kπ+π [sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]
=e^2kπ+π ×（0-（-1））
=e^2kπ+π ，
又x∈（0，2013π），
∴函数f（x）的各极大值之和S=e^π +e^3π +e^5π +…+e^2011π
═

e π (1 -e 2π×1006 )

1 -e 2π

e π (1 -e 2012π )

1 -e 2π

．
故选：B．

已知函数f（x）=e x （sinx-cosx），x∈（0，2013π），则函数f（x）的极大值之和为（ ） A．

已知函数f（x）=e x （sinx-cosx），x∈（0，2013π），则函数f（x）的极大值之和为（　　） A．