62问答网 > 已知f（x）=logax+1x?1（a＞0且a≠1）（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性

已知f（x）=logax+1x?1（a＞0且a≠1）（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性

2025-06-25 13:44:51

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回答1：

（ I）由

x+1

x?1

＞0得：x＜-1，或x＞1，所以，函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
又 f（-x）=log_a

?x+1

?x?1

=loga

x?1

x+1

=-loga

x+1

x?1

=-f（x），∴f（x）为奇函数．
（ II）任取1＜x₁＜x₂，则 x₁-x₂＜0．
因为

x1+1

x1?1

x2+1

x2?1

2(x 2?x1)

(x1?1)(x2?1)

＞0，所以

x1+1

x1?1

＞

x2+1

x2?1

，当a＞1时，
所以，loga

x1+1

x1?1

＞loga

x2+1

x2?1

，故f（x₁）＞f（x₂），所以，函数f（x）在区间（1+∞）上单调递减．
同理可证：当0＜a＜1时，函数f（x）在区间（-∞，-1）上单调递增．
（ III）假设存在实数a满足题目条件，由题意得：m＞0，n＞0，又[m，n]?（-∞，-1）∪（1，+∞），∴1＜m＜n．
又 1-log_an1-log_am，log_am＞log_an，∴a＞1．
故由（ II）得：函数f（x）在区（1，+∞）上单调递减，故函数f（x）在区[m，n]上单调递减．
故

f(m)＝1?logam

f(n)＝1?logan