已知A、B是抛物线y 2 =2px（p＞0）上异于原点O的两点，则“ OA ? OB =0

2025-06-25 23:22:50

推荐回答（1个）

回答1：

由“

=0”推“直线AB恒过定点（2p，0）”
设点A，B的坐标分别为（x₁ ，y₁ ），（x₂ ，y₂ ）
（I）当直线l有存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k≠0且b≠0．
联立方程得：

y=kx+b

y 2 =2px

消去y得k² x² +（2kb-2p）x+b² =0
由题意： x 1 x 2 =

b 2

k 2

，y₁ y₂ =（kx₁ +b）（kx₂ +b）=

2pb

又由OA⊥OB得x₁ x₂ +y₁ y₂ =0，
即

b 2

k 2

2pb

=0 ，解得b=0（舍去）或b=-2pk
故直线l的方程为：y=kx-2pk=k（x-2p），故直线过定点（2p，0）
（II）当直线l不存在斜率时，设它的方程为x=m，显然m＞0
联立方程得：

x=m

y 2 =2x

解得 y=±

，即y₁ y₂ =-2m
又由OA⊥OB得x₁ x₂ +y₁ y₂ =0，即m² -2m=0，解得m=0（舍去）或m=2
可知直线l方程为：x=2，故直线过定点（2，0）
综合（1）（2）可知，满足条件的直线过定点（2，0）．
由“直线AB恒过定点（2p，0）”推“

=0”
设l：x=ty+2p代入抛物线y² =2px消去x得，
y² -2pty-4p² =0，设A（x₁ ，y₁ ），B（x₂ ，y₂ ）
则y₁ +y₂ =2pt，y₁ y₂ =-4p²
∴

=x₁ x₂ +y₁ y₂ =（ty₁ +2p）（ty₂ +2p）+y₁ y₂
=t² y₁ y₂ +2pt（y₁ +y₂ ）+4p² +y₁ y₂
=-4p² t² +4p² t² +4p² -4p² =0．
∴“

=0”是“直线AB恒过定点（2p，0）”的充要条件．
故选B．