波函数及薛定谔方程怎么理解

实薛定谔方程非常好理解啊…………
一般的薛定谔方程就说了一个很简单的事情：哈密顿算符是时间演化的生成子：

或者说，态的时间演化可以形式地写成：

那么哈密顿算符是什么，这个其实完全是从经典力学中的哈密顿量来的。哈密顿量是什么？其实就是能量函数……所以不含时的、定态的薛定谔方程就更好理解了：就是如果一个系统处于稳定状态不随时间变化，它的能量守恒：

能量为什么和时间有关，能量和时间是什么关系，这都是经典力学中就很清楚的东西：即能量是因为时间平移对称性而产生的守恒量。

哦，对了，需要多说一句。一般说到薛定谔方程，是特指哈密顿算符取成类似牛顿力学的样子：

这和牛顿力学中能量的表达式是一样的。而相对论性的“薛定谔方程”，则是两个：Klein-Golden方程和狄拉克方程，它们的哈密顿量是相对论中的能量表达式。但第一个方程问题很大，Dirac方程在低能状况下还凑合，但也有问题。所以通常说到相对论性量子力学，都只把它当做过渡理论。真正的相对论性量子力学，是量子场论。虽然哈密顿量长得一样，但场论是多体理论。

对了，还需要再说一句……或许你会有疑问，为什么，（），这个源头也要回想一下经典力学里动量是什么。动量是空间平移操作的生成子，这和能量是时间演化操作的生成子是一样的。所以，平移后的状态与平移前的状态可以形式地写成：

在坐标表象中，我们用坐标来标记系统的状态，即用态在坐标本征态上的分解展开（有点类似于你在直角坐标系中写一个向量的3个分量）来表示这个态，展开“系数”叫做波函数。所以我们将态用坐标本征态展开：

那么（第一步的平移就是把态平移而已，第二步则是做了代换，因为积分限是全空间所以不变，第三部就是单纯的函数泰勒展开）

我们和

对比一下，由于平移是任意（小）的，所以

也就是对坐标表象中的波函数而言，。