已知数列{an}中,若a7=4,且an+1 =(3an+4)⼀(7-an).求数列{an}的通项公式

首先，确认已知条件a(n+1)=(3an+4)/(7-an)=25/(7-an)-3，
由a7=4=3-(-5)/5向前、向后分别推出
a6=24/7=3-(-3)/7，a5=28/9=3-(-1)/9，a4=32/11=3-1/11，a3=36/13=3-3/13，a2=8/3=3-5/15，a1=44/17=3-7/17；
a8=16/3=3-(-7)/3，a9=12=3-(-9)/1，a10=-8=3-(-11)/(-1)，a11=-4/3=3-(-13)/(-3)，a12=0=3-(-15)/(-5)，a13=4/7=3-(-17)/(-7)。
做选择题可以由观测法快速推出an=3-(9-2n)/(19-2n)=(4n-48)/(2n-19)=4(n-12)/(2n-19)。
证明题需要推导过程，由于已知数列不明确，所以此题需要用到递归法转化为等差数列或者等比数列再进一步计算。
a(n+1)=(3an+4)/(7-an)=2+5(an-2)/(7-an)
1/[a(n+1)-2]=(7-an)/[5(an-2)]=-1/5+1/(an-2)
1/[a(n+1)-2]-1/(an-2)=-1/5
数列{1/(an-2)}是等差数列
1/(an-2)=1/(a7-2)+(-1/5)(n-7)=1/2-n/5+7/5=(19-2n)/10
an-2=10/(19-2n)
an=2+10/(19-2n)=(48-4n)/(19-2n)=4(n-12)/(2n-19)

∵a(n+1)=(3an+4)/(7-an)
∴a(n+1)-2=(3an+4)/(7-an)-2
=(5an-10)/(7-an)
=5(an-2)/(7-an)
∴1/[a(n+1)-2]=(7-an)/[5(an-2)]
=-1/5+1/(an-2)
∴1/[a(n+1)-2]-1/(an-2)=-1/5，为常数
∴数列{1/(an-2)}是等差数列
∴1/(an-2)=1/(a7-2)+(-1/5)*(n-7)
=1/2-1/5*n+7/5
=(19-2n)/10
∴an-2=10/(19-2n)
∴an=2+10/(19-2n)
=(48-4n)/(19-2n)

望采纳

x=(3x+4)/(7-x)为重根x1=x2=2
则1/(an-2）为a7=4,公差为-1/5的等差数列
an=4(12-n)/(19-2n)