直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，

解：（I）连接CD1，
∵直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1且B1C1∥BC，B1C1=BC
∴四边形A1D1BC是平行四边形，可得CD1∥A1B
∵△C1CD1中，EF是中位线，∴EF∥CD1
∴EF∥A1B-----（3分）
∵EF�6�5面ABB1A1，A1B�6�7面ABB1A1
∴EF∥平面A1BD；…（6分）
（II）连接AC与BD相交于点O，连接A1O，EO
∵AA1⊥平面ABCD，BD�6�7平面ABCD，∴BD⊥AA1
∵菱形ABCD中，AC⊥BD，AC、AA1是平面AA1C1C内的相交直线，
∴BD⊥平面AA1C1C
∵A1O、EO�6�7平面AA1C1C，∴A1O⊥BD、EO⊥BD
∴∠A1OE就是二面角A1-BD-E的平面角，
因此，要使A1-BD-E为直二面角，即∠A1OE=90°，可得∠A1OA+∠EOC=90°
∴∠OEC=∠A1OA=90°-∠EOC，结合∠A1AO=∠OCE=90°，得△A1AO～△OCE．
设CE=x，所以 AA1OC= OACE，…（*）
∵四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形，AB=2
∴AO=OC= 12AC= 3，
又因为AA1=4，代入（*）可得 43= 3x，解之得x= 34
∴当CE的长度为 34时，二面角A1-BD-E为直二面角