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已知ABCD是棱长为1的正四面体,P在AB上运动,Q在CD上运动,，求PQ的最小值

2025-06-26 08:42:41

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回答1：

AB和CD为异面直线，如图，连AB和CD的中点E、F

∵ABCD是正四面体

∴AF＝BF → △AFB为等腰三角形 → EF⊥AB ..........①

∵AF⊥DC、AF⊥DC

∴DC⊥△AFB → DC⊥EF ............................................②

∵①和②

∴EF为异面直线AB和CD公垂线，即之间最短的直线

∴当P点运动到E点和Q点运动到F点时PQ的值最小

因为棱长均为1，因此通过计算得：

BF＝√3／2 BE＝1／2

根据勾股定理可求 EF＝√2／2

回答2：

P为AB边上的中点，Q为CD边上的中点时，PQ的值最小。假如P与A点或者B点重合，Q与C点或者D点重合时，PQ值为1。假如P与A点或者B点重合，Q为CD中点时，PQ值为二分之根三，假如Q与C点或者D点重合，P为AB边上的中点时，PQ值同样为二分之根三，只有当P为AB边上的中点，Q为CD边上的中点时，PQ值最小，为二分之根二。