怎么证明一个矩阵是单位矩阵

例如 A^2=EA的特征值均大于0证明A是E

2025-06-28 13:59:32

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回答1：

A^2=E即A^2 -E=0，
所以(A+E)(A-E)=0，
那么行列式|A+E|或|A-E|=0
现在知道A的特征值均大于0，故-1不是A的特征值，即|A+E|不等于0，
由秩的不等式可以知道，
r(A)+r(B)-n ≤r(AB)
所以
r(A+E)+r(A-E) -n ≤r(A^2 -E)=0，
而行列式|A+E|不等于0，故r(A+E)=n，
所以r(A-E)≤0，即r(A-E)=0，
于是A-E=0即A=E，这就得到了证明

回答2：

只要它满足如下属性：
EnEn=En
AnEn=EnAn=An