62问答网 > 请问a>0,b>0,c>0,a+b+c=2,证明√(a+1⼀3)+√(b+1⼀3)+√(c+1⼀3)≤3 (另外根号要怎么输入?)

请问a>0,b>0,c>0,a+b+c=2,证明√(a+1⼀3)+√(b+1⼀3)+√(c+1⼀3)≤3 (另外根号要怎么输入?)

2025-06-29 03:30:31

推荐回答（1个）

回答1：

设√（a＋1/3）＝A、√（b＋1/3）＝B^2、√（c＋1/3）＝C，则：
a＝A^2－1/3、b＝B^2－1/3、c＝C^2－1/3。
依题意，有：a＋b＋c＝（A^2－1/3）＋（B^2－1/3）＋（C^2－1/3）＝2，
∴A^2＋B^2＋C^2＝3。

由柯西不等式，有：（A＋B＋C）^2≦（1^2＋1^2＋1^2）（A^2＋B^2＋C^2）＝3×3＝9，
∴A＋B＋C≦3，
∴√（a＋1/3）＋√（b＋1/3）＋√（c＋1/3）≦3。