∫∫∫(x+y+z)dxdydz 在x^2+y^2+z^2=1处的值！ 求过程 或说明为什

Ω为一倒立的正圆锥，顶点在原点，中心轴为z轴，圆锥高为H；令x=rcosθ、y=rsinθ、z=z，则dxdydz=rdθdrdz；∫∫∫(Ω)(x＋y＋z)dxdydz=∫∫∫(Ω)(rcosθ＋rsinθ＋z)rdθdrdz=∫(0→H)dz∫(0→z)rdr∫(0→2π)(rcosθ＋rsinθ＋z)dθ=∫(0→H)dz∫(0→z)rdr(2πz)=π∫(0→H)zdz(z^2)=(πH^3)/4。

原式=0,
在第一卦限，∫<0,1>dz∫<0,√(1-z^2)>dy∫<0,√(1-y^2-z^2)>(x+y+z)dx
=(1/2)∫<0,1>dz∫<0,√(1-z^2)>dy[x^2+2x(y+z)]|<0,√(1-y^2-z^2)>
=(1/2)∫<0,1>dz∫<0,√(1-z^2)>[(1-y^2-z^2)+2(y+z)√(1-y^2-z^2)]dy
=(1/2)∫<0,1>dz{y(1-z^2)-y^3/3-(1-y^2-z^2)^(3/2)+
2z[(y/2)√(1-y^2-z^2)+(1-z^2)/2*arcsin[y/√(1-z^2)]}|<0,√(1-z^2)>
=(1/2)∫<0,1>[(5/3)(1-z^2)^(3/2)+2z[(1/2)√(1-z^2)+π(1-z^2)/4]dz
=(1/2)∫<0,1>[(5/3)(1-z^2)^(3/2)+z√(1-z^2)+(π/2）（z-z^3)]dz
=(1/2){(5/3)[(z/8)(5-2z^2)√(1-z^2)+(3/8)arcsinz]-(1/3)(1-z^2)^(3/2)+(π/8）(2z^2-z^4)}|<0,1>
=(1/2)[(5/3)(3/8)+1/3+π/8]
=(1/2)(5/8+1/3+π/8）
=23/48+π/16.
仅供参考。

x,y,z都是奇函数，由对称性，积分为零