62问答网 > 在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC

在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC

若存在角B，使sinB+sinC>=k成立，求k的最大值

2025-06-28 20:52:21

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回答1：

使用正弦定理并设sinA/a=sinB/b=sinC/c=t,则sinA=at,sinB=bt,sinC=ct代入2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC得
2a^2=(2b+c)b+(2c+b)c=2b^2+2c^2+2bc,即a^2=b^2+c^2+bc，由余弦定理得a^2=b^2+c^2-2bccosA,于是就有cosA=-1/2,A=120°,B+C=60°
sinB+sinC=2sin(B+C)/2cos(B-C)/2=2sin30°*cos(B-C)/2=cos(B-C)/2≤1，即
k≤sinB+sinC≤1,k≤1,故k的最大值为1.