62问答网 > 设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．（1）求证：y=

设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．（1）求证：y=

2025-06-27 20:53:55

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回答1：

证明：（1）令x=y=0，则有f（0）=2f（0）?f（0）=0．
令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x）=0，
即f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数． …（5分）
（2）任取x₁ ＜x₂ ，则x₂ -x₁ ＞0．?f（x₂ -x₁ ）＜0．
∴f（x₁ ）-f（x₂ ）=f（x₁ ）+f（-x₂ ）=f（x₁ -x₂ ）=-f（x₂ -x₁ ）＞0，
∴f（x₁ ）＞f（x₂ ），
∴y=f（x）在R上为减函数． …（10分）
（3）由（2）y=f（x）在R上为减函数，
∴y=f（x）在[-3，3]上为减函数，f（3）为函数的最小值，f（-3）为函数的最大值．
又f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）=-6，f（-3）=-f（3）=6，
∴函数最大值为6，最小值为-6…（14分）

回答2：

有最大值f(3)，最小值f(-3).
1令x=0，y=0，可知f(0)=0
2令y=-x，可知f(-x)=-f(x)，所以该函数是奇函数。即当x＞0时，f(x)＞0，x<0时，f(x)<0。
3当x＞0时，f(x+y)=f(x)+f(y）若y>0,即当x+y>x时，f(x+y)>f(x）,可知函数单调递增。
所以最大值是f(3)，最小值f(-3).