已知地球半径R=6400km，地球表面的重力加速度g=10m⼀s 2 ，不考虑地球自转的影响．求：（1）推导第一宇宙

2025-06-26 19:58:17

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回答1：

（1）当卫星在地球表面附近运动行时，受地球的万有引力提供向心力，即
G

R 2

v 2

得：卫星运行速度 v=

①
又因为在不考虑地球的自转，地球表面的重力和万有引力相等，故有 mg=G

R 2

，所以有
GM=gR² ②
将②代入①可得：
v 1 =

10×6400×1 0 3

m/s =8×10³ m/s
（2）同步卫星运动地周期与地球自转周期相同，即T=24h=24×3600s，同步卫星受到地球的万有引力提供向心力，故有：
G

(R+h ) 2

=m(R+h)(

2π

) 2
可得 R+h=

GM T 2

4 π 2

即：
h=

GM T 2

4 π 2

-R ③
将②代入③得： h=

g R 2 T 2

4 π 2

-R =

10×(6400×1 0 3 ) 2 ×(24×3600 ) 2

4×3.1 4 2

-6400× 10³ m≈4×10⁷ m
（3）由②式得 M=

g R 2

④
由几何知识知，地球的体积V=

π R 3 ⑤
所以地球的密度ρ=

g R 2

π R 3

4πRG

3×10

4×3.14×6400×1 0 3 ×6.7×1 0 -11

kg/m³ ≈6×10³ Kg/m³ ．
答：（1）第一宇宙速度表达式 v 1 =

，数值为8×10³ m/s；
（2）同步卫星距地面的高度h=4×10⁷ m；
（3）地球的平均密度ρ=6×10³ Kg/m³ ．