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数学难题极限证明 lim(n->∞) n(a^(1⼀n)-1)=lna, a>0,n∈N

2025-06-28 08:37:22

推荐回答（2个）

回答1：

a^(1/n)-1=bn
lna/n=ln(bn+1)
n(a^(1/n)-1)=lna*bn/ln(bn+1)
当n足够大时
0存在唯一kn使得1/kn<=b<=1/(kn+1)
那么由于1/(n+1)1/(kn+2)kn<1/ln(bn+1)1<-kn/(kn+1)1
那么lim bn/ln(bn+1)=1
故lim n(a^(1/n)-1)=lim lna*bn/ln(bn+1)=lna

回答2：

a^(1/n)-1=e ^(1/n *lna) - 1 与 (1/n *lna) 是等价无穷小
lim(n->∞) n(a^(1/n)-1)=lim(n->∞) n(1/n *lna) = lna

数学难题 极限 证明 lim(n->∞) n(a^(1⼀n)-1)=lna, a>0,n∈N

数学难题极限证明 lim(n->∞) n(a^(1⼀n)-1)=lna, a>0,n∈N