62问答网 > 如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆

如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆

2025-06-26 21:29:47

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回答1：

（1）证明：∵△ABE为等边三角形，
∴AB=BE，∠ABE=60°．
而∠MBN=60°，
∴∠ABM=∠EBN．
在△AMB与△ENB中，
∵

AB＝BE

∠ABM＝∠EBN

BM＝BN

，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．

（2）连接MN．由（1）知，AM=EN．
∵∠MBN=60°，BM=BN，
∴△BMN为等边三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．
∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．
此时，∠BMC=180°-∠NMB=120°；
∠AMB=∠ENB=180°-∠BNM=120°；
∠AMC=360°-∠BMC-∠AMB=120°．

（3）由（2）知，△ABC的费尔马点在线段EC上，同理也在线段BF上．
因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费尔马点．