（Ⅰ）由于f′(x)＝
(x＞0)，…（2分）a(1?x) x
①当a＞0时，易知，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，当x＞1时，f'（x）＜0；
所以f（x）的单调递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）；…（4分）
②当a＜0时，同理可知f（x）的单调递减区间为（0，1），递增区间为（1，+∞）；…（6分）
（Ⅱ）要证
×ln2 2
×ln3 3
×…ln4 4
＜lnn n
(n≥2，n∈N*)成立；1 n
只须证
＜lnn n
（n≥2，n∈N*，）n?1 n
即证lnn＜n-1（n≥2，n∈N*，）
下面证明此式．
证明：令a=1此时f（x）=lnx-x-3，所以f（1）=-4，
由（I）知f（x）=lnx-x-3在（1，+∞）上单调递减，
∴当x∈[1，+∞）时f（x）＜f（1），即lnx-x+1＜0，
∴lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n-1，
故结论成立．
内容全部来源于网络收集，如有侵权，请联系网站删除：QQ：24596024