解：（1）如图，以O1O2所在的直线为x轴，以O1O2的中垂线
所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．设圆C的圆心
为C（x，y），半径为r，由|CO1|-|CO2|=（r+3）-（r+1）=2，
得圆C的圆心的轨迹是以O1（-2，0），O2（2，0）为焦点，
定长为2的双曲线，设它的方程为
?x2 a2
＝1．由2a=2，得a=1，y2 b2
又c=2，∴b2=c2-a2=3．又点（1，0）不合题意，且|CO1|-|CO2|=2＞0，知x＞1．
∴圆C的圆心的轨迹方程是x2?
＝1（x＞1）．y2 3
（2）令C（x，y），由圆C与圆O1、O2相切得|CO1|=4，|CO2|=2，
故
，解得C(
(x+2)2+y2＝16
(x?2)2+y2＝4
，±3 2
)，
15
2
∴圆C的方程为(x?
)2+(y±3 2
)2＝1．
15
2
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