62问答网 > 已知圆C：x2+（y-1）2=5，直线l：mx-y+1-m=0．（1）求证：对任意的m，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2

已知圆C：x2+（y-1）2=5，直线l：mx-y+1-m=0．（1）求证：对任意的m，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2

2025-06-29 09:00:10

推荐回答（1个）

回答1：

（1）证明：由直线l：mx-y+1-m=0，得m（x-1）-y+1=0，
由

x?1＝0

?y+1＝0

，得

x＝1

y＝1

．
∴直线l：mx-y+1-m=0过定点P（1，1），代入圆C：x²+（y-1）²=5，
得1²+（1-1）²=1＜5，∴点P（1，1）在圆C：x²+（y-1）²=5内部，
∴对任意的m，直线l与圆C总有两个不同的交点；
（2）解：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=1，代入圆x²+（y-1）²=5得：y₁=-1，y₂=3，
此时|AB|=4，不满足题意；
∴直线l的斜率存在，由|AB|=

，圆的半径为

，
得圆心到直线l：mx-y+1-m=0的距离为

＝