设f(x)连续，证明：∫0到2πxf(cosx)dx=π∫0到2πf(cosx)dx

这个问题可以考虑三角函数对称性
其中sinx关于x＝0.5π是对称的，
才有sin(π－x)＝sinx，
f(sin(π－x))＝f(sinx)，函数保持不变
而cosx没有这个性质，
cos(π－x)＝-cosx，
f(cos(π－x))＝f(-cosx)，与f(cosx)的关系
要考虑函数f(x)的奇偶性，题目没有要求的话得不出简化的结论。
所以，
由于cosx关于x＝0对称，应该有cosx＝cos(-x)
原问题用cosx表示的形式应该是，设f(x)连续，（积分区间为-0.5π到0.5π）∫xf(cosx)dx=0，可以用和原问题一模一样的推导过程推出这个结论，也可以用函数奇偶性得出

∫(0,2π)xf(cosx)dx=π∫(0,2π)f(cosx)dx
证明：设x=2π-t，那么dx=-dt
当x从0到2π时，t从2π到0，
∫(0,2π)xf(cosx)dx
=∫(2π,0)(2π-t)f(cos(2π-t)(-dt)
=2π
∫(0,2π)f(cost)dt-
∫(0,2π)tf(cost)dt
=2π
∫(0,2π)f(cosx)dx
-
∫(0,2π)xf(cosx)dx
(积分与变量无关）
移项得除以2：
∫(0,2π)xf(cosx)dx=π∫(0,2π)f(cosx)dx