62问答网 > 已知直线l过点P(2,1),且与X轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点

已知直线l过点P(2,1),且与X轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点

△ABC的面积最小时，直线l的方程是

2025-06-28 12:30:33

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回答1：

你哈哦~已知直线L过点P（2，1）
设直线L的方程为y-1=k(x-2)（k<0）
由题意得,A（a，0）和B（0，b），
则 a=2-1/k b=1-2k
三角形ABO的面积S(ABO)
=(1/2)(2-1/k)(1-2k)
=(1/2)(-4k-1/k+4)
因为k<0 所以-4k>0 -1/k>0
当且仅当-4k=-1/k即k=-1/2时
三角形ABO的面积取最小值，MinS(ABO)=4
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回答2：

设A(a,0)B(0,b) a>0,b>0
x/a+y/b=1
1/a+2/b=1
S=ab/2=ab/2(1/a+2/b)(1/a+2/b)=(1/2)(b+2a)(1/a+2/b)=(1/2)(b/a+4a/b+4)>=(1/2)[2√((b/a)*(4a/b))+4]
=(1/2)(4+4)=4
当且仅当b/a=4a/b时等号成立
即当b=2a时三角形AOB的面积最小
则1/a+2/(2a)=1，a=2，b=4
故直线方程为
x/2+y/4=1
2x+y-4=0

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