62问答网 > (1) 已知x≥0，y≥0,x+2y=1,求函数t=log2(y^2+2xy+1)的最大值

(1) 已知x≥0，y≥0,x+2y=1,求函数t=log2(y^2+2xy+1)的最大值

请详细解答，多谢

2025-06-27 04:04:50

推荐回答（2个）

回答1：

t是增函数，所以t的最大值就是y^2+2xy+1取得最大值时候。
因为X=1-2y,所以y^2+2xy+1=-3y^+2y+1.
f（x）=-3y^+2y+1 令f（x）的导数=0则-6y+2=0 得到y=1/3
代入得4/3
所以，t的最大值是log2 （4/3）

回答2：

x≥0，y≥0，
∴x=1-2y≥0→0≤y≤1/2;
y=(1-x)/2≥0→0≤x≤1.
∴t=log2(y²-2xy+1)
=log2[y²-2(1-2y)y+1]
=log2(5y²-2y+1)
=log2[5(y-1/5)²+4/5]
∴y=1/2，x=0时，
所求最大值为:
t|max=log2(5/4)。