如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，E，F分别为线段DD 1 ，BD的中点．（1）求异面直线

2025-06-29 05:49:50

推荐回答（1个）

回答1：

（1）分别以DA，DC，DD₁ 为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
∵在棱长为2的正方体ABCD-A₁ B₁ C₁ D₁ 中，E，F分别为线段DD₁ ，BD的中点，
∴E（0，0，1），F（1，1，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
∴

=（1，1，-1），

=（-2，0，0），
设异面直线EF与BC所成的角为θ，

则cosθ=|cos＜

，

＞|=|

-2

×2

，
∴异面直线EF与BC所成的角为arccos

．
（2）∵在棱长为2的正方体ABCD-A₁ B₁ C₁ D₁ 中，E，F分别为线段DD₁ ，BD的中点，
∴ S △ B 1 D 1 C =

× B 1 D 1 × B 1 C =

×2

×2 =2

，
∵B₁ （2，2，2），D₁ （0，0，2），C（0，2，0），F（1，1，0），
∴

D 1 B 1

=(2，2，0) ，

D 1 C

=（0，2，-2），

D 1 F

=(1，1，-2) ，
设平面D₁ B₁ C的法向量

=（x，y，z），则

D 1 B 1

=0 ，

D 1 C

=0 ，
∴

2x+2y=0

x+y-2z=0

，解得

=（1，-1，0），
∴点F到平面D₁ B₁ C的距离d=

D 1 C

|0-2+0|

，
∴三棱锥C-B₁ D₁ F的体积V=