数列{a n }是公比大于1的等比数列，a 2 =6，S 3 =26．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）在a n 与a n+1

2025-06-26 04:29:01

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回答1：

（1）设公比为q，由，a₂ =6，S₃ =26 可得

+6+6q=20 ，解得q=3，或 q=

，再由q＞1可得q=3，∴a₁ =2，a_n =2×3^n-1 ．
（2）由等差数列的通项公式可得 2×3ⁿ =2×3^n-1 +（n+1）?d_n ，∴d_n =

4× 3 n-1

n+1

，
∴A_n =n 2×3^n-1 +

n(n-1)

4× 3 n-1

n+1

4? n 2 ? 3 n-1

n+1

．
∵A_n =g（n）d_n 对任意n∈N₊ 恒成立，∴g（n）=n² ．
（3）对于（2）中的数列d₁ ，d₂ ，d₃ ，…，d_n ，…，这个数列中若存在不同的三项d_m ，d_k ，d_p （其中正整数m，k，p成等差数列）成等比数列，
则有 d k 2 =d_m ?d_p ，即 (

4× 3 k-1

n+1

) 2 =

4× 3 m-1

m+1

4× 3 p-1

p+1

，再由 2k=mp，解得 m=k=p，
这与d_m ，d_k ，d_p 是不同的三项相矛盾，故不存在不同的三项d_m ，d_k ，d_p （其中正整数m，k，p成等差数列）成等比数列．