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已知函数 f(x)= x x+3 ，数列{a n }满足a 1 =1，a n+1 =f（a n ）（n∈N + ）．（1）求数列{a
已知函数 f(x)= x x+3 ，数列{a n }满足a 1 =1，a n+1 =f（a n ）（n∈N + ）．（1）求数列{a
2025-06-28 15:18:43
推荐回答（1个）
回答1：
（1）由已知，a
n+1
=
a
n
a
n+3
，所以
1
a
n+1
=
3
a
n
+1，
∴
1
a
n+1
+
1
2
=3（
1
a
n
+
1
2
），
∴数列{
1
a
n
+
1
2
}是以1+
1
2
=
3
2
为首项，以3为公比的等比数列．
∴
1
a
n
+
1
2
=
3
2
?3
n-1
=
3
n
2
，
1
a
n
=
3
n
-1
2
所以a
n
=
2
3
n
-1
（2）
b
n
=
1
2
a
n
a
n+1
?
3
n
=
2?
3
n
(3
n
-1)(
3
n+1
-1)
=
1
3
n
-1
-
1
3
n+1
-1
S
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
=
1
3
1
-1
-
1
3
2
-1
+（
1
3
2
-1
-
1
3
3
-1
）+…+（
1
3
n
-1
-
1
3
n+1
-1
）=
1
2
-
1
3
n+1
-1
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