（Ⅰ）证明：取A1B1中点E，连接BC1，EC1，
∵ABC-A1B1C1是正三棱柱，∴AB1⊥EC1
∵AB1⊥BC1，BC1∩EC1=C1，
∴AB1⊥平面BEC1，∴AB1⊥BE
∴△ABB1∽△BB1E
∴
＝AB BB1
BB1
EB1
∵AB=2，∴BB1＝
2
∴AA1＝
…（6分）
2
（Ⅱ）解：过D做DO⊥BC，垂足为O，过O做OG⊥BC1，垂足为G，连接DG，则DG⊥BC1，
∴∠OGD为二面角D-BC1-C的平面角
在△CBC1中，由等面积可得OG=
=OB?CC1
BC1
3
2
∵OD=
×1 2
×2=
3
2
3
2
∴∠OGD=45°
∴二面角D-BC1-C的余弦值为
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