已知函数f（x）=log 2 （2 x +1）．（1）求证：函数f（x）定义域内单调递增；（2）记g（x）=log 2

2025-06-28 19:41:22

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回答1：

（1）证明：任取x₁ ＜x₂ ，则f（x₁ ）-f（x₂ ）=log₂ （2^x₁ +1）-log₂ （2^x₂ +1）=log₂

2 x 1 +1

2 x 2 +1

∵x₁ ＜x₂ ，∴0＜

2 x 1 +1

2 x 2 +1

＜1，∴log₂

2 x 1 +1

2 x 2 +1

＜0
∴f（x₁ ）＜f（x₂ ）
∴函数f（x）在R上单调递增；
（2）∵g（x）=log 2 ( 2 x -1) ，x＞0，
∴m=g（x）-f（x）=log 2 ( 2 x -1) -log₂ （2^x +1）=log₂ （1-

2 x +1

）．
当1≤x≤2时，

≤

2 x +1

≤

，
∴

≤1-

2 x +1

≤

∴m的取值范围是 [lo g 2

，lo g 2

] ．