已知函数f(x)＝a?22x+1，其中a为常数．（I）当a=1时，讨论函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单

2025-06-26 07:45:45

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回答1：

（I）a=1时，f（x）=1-

2x+1

，函数的定义域为R．
又f（-x）+f（x）=（1-

2?x+1

+（1-

2x+1

）
=2-

2?2x

(2?x+1)?2x

2x+1

=2-

2(2x+1)

2x+1

=0，
∴a=1时，函数f（x）为奇函数．
（Ⅱ）设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（a-

2x1+1

）-（a-

2x2+1

）=

2(2x1?2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，（2x1+1）（2x2+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴不论a为何实数f（x）总为增函数．
（Ⅲ）a=3时，∵2^x+1＞1，
∴0＜

2x+1

＜2，-2＜-

2x+1

＜0，
∴1＜3-

2x+1

＜3．
∴a=3时，函数f（x）的值域为（1，3）．