球面轨迹方程

假定转动轴与z轴夹角为θ，相应地在xy平面投影与x轴夹角为α，旋转角φ

ez"=ez' cosθ+ex' sinθ

ex"=(ex' cosθ-ez' sinθ)cosφ+sinφey'

ey"=-(ex' cosθ-ez' sinθ)sinφ+cosφey'

ez'=ez

ex'= cosα ex + sinα ey

ey'=-sinα ex + cosα ey

记M为

 cosθcosφ    sinφ     -sinθcosφ

-cosθsinφ    cosφ      sinθsinφ

  sinθ        0          cosθ

N为

 cosα    sinα      0

-sinα    cosα      0

 0         0         1

这样若记转动前后坐标为R(x,y,z)，R'(x',y',z')

则 R=R'MN

由于坐标约束在球面上实际三坐标变换只有两组是独立的方程，但有三个独立变量，故解应该为无穷。

注：先前没考虑角度α，故认为可解了。

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不用矩阵求解：

如图G为AB中点，坐标{（x1+x2）/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2 }

转动轴OM={xm,ym,zm}

M在AB中垂面上

xm(x1-x2)+ym(y1-y2)+zm(z1-z2)=0

OM⊥MG

xm[xm-(x1+x2）/2]+ym[ym-(y1+y2）/2]+zm[zm-(z1+z2）/2]=0

满足上面两个条件都可行，可知只给转变前后坐标没法定出转动轴。

关于这个问题我谈一谈我的看法，球面上的任意一点用球坐标（θ，φ）（球的半径为R是确定的）两个参数表示，球旋转的时候，首先要确定一根旋转轴（θ0，φ0）表示旋转的一个角度可以用θ1表示出来，现在球的旋转，其实换一种说法就是球面坐标的旋转，知道了旋转后两点的坐标，那么球的旋转情况是有很多种的，但是所有的坐标又都是确定的，这样可以通过旋转后的两点，得到任意一种情况下的旋转轴和旋转角度，这样其他的点就可以通过旋转轴和旋转角度表示出来，这中间必然涉及到三角函数的知识，如果要解方程的，那么可以把方程发给我，我会用MATLAB（关于解方程的和计算的你可以发给我）；关于具体的你就自己做吧，由于时间比较忙所以不能把完整的解题给你。
现在我写一下我的解题思路
首先：任何一次绕中心轴的旋转，均可以转化为绕x轴的一次旋转和绕z轴的一次旋转得到，这样可以把不规则的旋转转化为规则的旋转，使问题得到简化现在我把点M1(x1,y1,z1)旋转到点M2（x2,y2,z2）的过程按上面的过程分为两步来旋转，首先我以x轴为旋转轴把M1（x1,y1,z1）旋转到与M2（x2,y2,z2）有相同的纬度，这时，经过第一次旋转后的点变为M3（x1，(R^2-x1^2-z2^2)^0.5,z2），（解释下这个点的得来，因为是绕x轴旋转，所以旋转过程中旋转点的x坐标保持不变即横坐标为x1，又由于旋转后与M2（x2,y2,z2）有相同的纬度，那么旋转后的点的竖坐标变为z2，由于点在球面上所以得到y轴上的纵坐标为(R^2-x1^2-z2^2)^0.5,这里取正和取负没有影响，）通过这次绕x轴的旋转（以及旋转后的两点），我们可以得到一个旋转角度θx，由于M3与M2在同一个纬度，所以把M3绕z轴旋转至与M2重合，这时可以通过M3—>M2的绕z轴旋转，得到一绕z轴的旋转角度θz；这样知道了θz与θx，那么对于任何一个点M4（x3，y3，z3）通过绕x轴旋转一个角度θx，在绕z轴旋转一个角度θz，得到与M4对应的点M5（x4，y4，z4）；
现在我把我的解题过程以及思路都说清楚了，如果你明白了这个过程那么我具体来写出这个问题
的解题过程
为了使解题的过程更加的简化，理所当然的采用
球面坐标系，不过这里我们要用两种球面坐标系
一种是以z轴为中心轴的球面坐标系，这也是我们常用的球面坐标系，一种是以x轴为中心轴的球面坐标系（与z轴为球面的坐标系定义差不多），这两种坐标系与直角坐标系的转化情况是
以z轴为中心时（θ—>(0,2*pi)，φ->(0,pi)），（φ，θ）->R*（cos(θ)sin(φ),sin(θ)sin(φ),cos(φ)）=（x，y，z）,以x为中心轴时)），（φ，θ）->R*（cos（φ),cos(θ)sin(φ),sin(θ)sin(φ)）=（x，y，z）,（说一下如果你懂矩阵的相关知识的话那么可以定义两个变换矩阵R1,R2,这样问题就可以更加好的表达出来，现在假设你不太了解矩阵的相关理论知识，就用初等的方法来做）
现在我们知道了直角坐标系在这两种坐标下面的坐标变换公式，因此下面我们将要用上面的公式讲不同坐标系下的坐标进变换，以利于我们的计算简化，和解题思路的表达更加简介
下面的解题思路就非常简单了：
首先确定两次选装的旋转角θx，φz
先把M1（x1,x2,x3）,M2(x2，y2,z2)变换到以x为中心轴的球面坐标系中M1（θx1，φx1）和M2（θx2，φx2）显然旋转角θx=θx2-θx1；
这个时候M1旋转后的点变为M3（θx2，φz1）现在把M3划为直角坐标系M3(x3,y3,z3）,接下来再把M3，M2划为以z轴为中心 轴的的球面坐标系M3（θz3，φz3）和M2（θz2，φz2），这是我们在绕z轴旋转使M3与M2重合，这是我们求出了θz=θz3-θz2；
现在我们知道了绕x轴的旋转角度和绕z轴的旋转角度，对于任意的一点M3利用求出的θx，θz通过上面的步骤,坐标变换，旋转，坐标变换，坐标变换，旋转，那么我们就可以得到M4（x4，y4，z4）；
解答完毕；如果用矩阵的话那么每一次的变换都可以有一个变换矩阵，可以写成公式：不懂再问!
现在我用MATLAB界的答案为：（其中R为球面半径=（x1^2+y1^2+z1^2)^0.5）;
x4=(1-sin(acos(y3/(y3^2+z3^2)^(1/2))+acos(y2/(y2^2+z2^2)^(1/2))-acos(y1/(y1^2+z1^2)^(1/2)))^2*x3^2/R^4)^(1/2)*cos(acos(1/2*x2*2^(1/2)/(y2^2)^(1/2))-acos(1/2*x1/R*2^(1/2)/((1-x1^2/R^2)*y2^2/(y2^2+z2^2))^(1/2))+acos((1-x3^2/R^2)^(1/2)*cos(acos(y3/(y3^2+z3^2)^(1/2))+acos(y2/(y2^2+z2^2)^(1/2))-acos(y1/(y1^2+z1^2)^(1/2)))/(x3^2/R^2+(1-x3^2/R^2)*cos(acos(y3/(y3^2+z3^2)^(1/2))+acos(y2/(y2^2+z2^2)^(1/2))-acos(y1/(y1^2+z1^2)^(1/2)))^2)^(1/2)));
y4=sin(acos(1/2*x2*2^(1/2)/(y2^2)^(1/2))-acos(1/2*x1/R*2^(1/2)/((1-x1^2/R^2)*y2^2/(y2^2+z2^2))^(1/2))+acos((1-x3^2/R^2)^(1/2)*cos(acos(y3/(y3^2+z3^2)^(1/2))+acos(y2/(y2^2+z2^2)^(1/2))-acos(y1/(y1^2+z1^2)^(1/2)))/(x3^2/R^2+(1-x3^2/R^2)*cos(acos(y3/(y3^2+z3^2)^(1/2))+acos(y2/(y2^2+z2^2)^(1/2))-acos(y1/(y1^2+z1^2)^(1/2)))^2)^(1/2)))*sin(acos(y3/(y3^2+z3^2)^(1/2))+acos(y2/(y2^2+z2^2)^(1/2))-acos(y1/(y1^2+z1^2)^(1/2)))*x3/R^2;
z4=sin(acos(y3/(y3^2+z3^2)^(1/2))+acos(y2/(y2^2+z2^2)^(1/2))-acos(y1/(y1^2+z1^2)^(1/2)))*x3/R^2;
老兄希望你满意啊！

是无穷解。因为你把(x1,y1,z1)->(x2,y2,z2)后可以按圆心到(x2,y2,z2)这个轴再旋转，因此无法确定转动。

只有(x1，y1,z1),（x2,y2,z2)是不能确定转轴和角度的，从1转到2有无穷种路径

肯定有人会做，就是在网上写过程，太麻烦了