求根号下（9—X^2）的不定积分

使用三角带换，如下

令a=3即可，详情如图所示

可以采用三角变换求解。具体做法是令x＝3sint 那么x^2＝9sin^2t dx＝3costdt

原式子变为

∫（9－9sin^t）^（1/2）×3costdt

＝9∫cos^2td（利用算法1－cos^t＝sin^t）

＝9/2∫（cos2t＋1）dt（利用算法cos2t＝2cos^2t－1）

＝9/4sin2t＋（9/2）t＋c，c为任一常数。然后再把t带换成x就是最终答案了。具体过程如图所示。

let
x=3sinu
dx=3cosu du
∫√(9-x^2) dx
=9∫ (cosu)^2 du
=(9/2)∫ (1+cos2u) du
=(9/2)[ u +(1/2)sin2u] +C
=(9/2)[ arcsin(x/3) + x.√(9-x^2)/9] +C

∫√(9-x^2)dx=(9/2)arcsin(x/3)+(1/2)x)√[(9-(x²)]+C，(C为任意常数)。
令x=3sint，则dx=3costdt.
t=arcsin(x/3)，sin2t=2sintcost。
∫√(9-x^2)dx
=∫[√(9-9sin²t)]3(cost)dt
=∫9cos²tdt=9∫(1/2)[1+cos(2t)]dt
=9∫(1/4)[1+cos(2t)]d(2t)
=(9/4)[2t+sin2t]+C，(C为任意常数).
∫√(9-x^2)dx
=(9/4)[2arcsin(x/3)+2(x/3)√(1-(x/3)²)]+C
=(9/2)arcsin(x/3)+(1/2)x)√[(9-(x²)]+C，(C为任意常数)。
扩展资料：
分部积分：
(uv)'=u'v+uv'
得：u'v=(uv)'-uv'
两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx
即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分