如何证明柯西点列有一个子列收敛则其本身也收敛？

2025-06-29 13:03:05

推荐回答（3个）

回答1：

问题不应该这样问，因为对于柯西点列{an},根据数列的柯西极限存在准则(参考高等数学函数与极限那一章)，{an}必定收敛。
如果柯西点列{an}有一个子数列{an_k}收敛于a,即lim(k->inf)an_k=a,可以证明柯西点列同样收敛于a (用极限的唯一性就可以得出)，具体过程写下来就是：任意给定eps，根据柯西数列的性质，存在N当m,n>N时，|an-am|N成立，这也就是说柯西点列{an}收敛于子数列的收敛值a

回答2：

反证法，假设柯西列不收敛于子列的收敛点x0，则能找到一个子列{xnk}，满足对于任意的k，|xnk-x0|>=e0，对于e0，由于子列{xni}收敛于x0，可以找到N1，使得任意的i>N1,有|xni-x0|N2，有

回答3：

具体的证明可以参照教材,如果您需要,我也可以给你列出证明过程.这里不做严格证明,我觉得你可以这样理解:数列{an}极限是a,说明它每一项“越来越”接近a.那么{an}的任意一个子列,它的每一项都来自于{an}这个母体,所以越往后的每一项,肯定也“越来越”。