可以得到 f(ξ)=f(1),ξ∈(0,1/3)。
你可以把左边的定积分换成F(1/3)-F(0),F(x)是f(x)的远函数，右边=f(1)[(1/3)-0]
然后左边利用拉格朗日中值定理得F(1/3)-F(0)=F'(ξ)[(1/3)-0],F'(ξ)=f(ξ)=f(1)。
最后由罗尔定理可知存在一点ξ∈(0,1/3)使f'(ξ)=0。前提是f(x)在x∈[0,1]连续,(0,1)可导。
当然用积分中值定理更简单...
∵∫f(t^2)dt=x^3 ==>f(x^2)=3x^2 (对等式两端x求导数)
∴f(x)=3x
故 ∫f(x)dx=3∫xdx
=3*(1/2)
=3/2.
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